vektor

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB IR. ALIZAR, M.T
FISIKA DASAR
A
B
MODUL PERTEMUAN KE – 2
MATA KULIAH : FISIKA DASAR (4 sks)
MATERI KULIAH:
Definisi Vektor, Komponen Vektor, Penjumlahan Vektor, Perkalian Vektor.
POKOK BAHASAN:
VEKTOR

2-1 DEFINISI VEKTOR
Skalar adalah besaran yang tidak mempunyai arah, misalnya waktu,
volume, energi, massa, densilitas, kerja. Penambahan skalar dilakukan dengan
metode aljabar misalnya, 2 detik + 5 detik = 7 detik; 10 kg + 5 kg = 15 kg.
Vektor adalah besaran yang mempunyai arah, misalnya gaya,
perpindahan, kecepatan, impuls.
Sebuah vektor dapat digambarkan dengan anak panah, dan anak panah
ini disebut dengan vektor. Sebuah vektor dengan besar dan arah tertentu
(Gambar 2-1). Titik A menyatakan arah, panjang 4 satuan menyatakan besar
serta garis yang melalui AB menyatakan garis kerja vektor.
Gambar 2-1. Vektor AB
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan
Universitas Mercu Buana
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB IR. ALIZAR, M.T
FISIKA DASAR
Simbol vektor dinyatakan dengan huruf cetak tebal atau dengan A , a ,
AB dan besarnya dengan A, a, AB atau │ A │, │ a │, │ AB │.
Vektor Bebas adalah sebuah vektor yang dapat dipindahkan ke mana
saja dalam ruang, asalkan besar dan arahnya tetap.
Vektor Satuan adalah sebuah vektor yang besarnya satu satuan vektor.
Vektor satuan pada sumbu X, Y, dan Z dinyatakan dengan vektor satuan iˆ , jˆ ,
kˆ atau x aˆ , y aˆ , z aˆ .
Suatu vektor A bisa di tulis dengan :
A = A A eˆ
Disini A eˆ adalah vektor satuan dari vektor A .
Vektor Negatif P adalah vektor - P yang besarnya sama tetapi arahnya
berlawanan.
Vektor Resultan adalah jumlah terkecil vektor yang menggantikan sistem
vektor yang bersangkutan .
2-2 KOMPONEN VEKTOR
Vektor Dalam Ruang
Vektor A dalam ruang dinyatakan dengan
A = Ax + Ay + Az = A i x
ˆ + A j y
ˆ + A k z
ˆ
dan besarnya
A = 2 2 2
x y z A + A + A
x A , y A , z A dan iˆ , jˆ , kˆ masing – masing adalah komponen vektor dan
vektor satuan pada sumbu x, y, dan z.
disini Ax = A i x
ˆ besarnya x A = A cos α
Ay = A j y
ˆ y A = A cos β
Az = A k z
ˆ z A = A cos γ
Arah vector A terhadap sumbu x, y, dan z positif adalah
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan
Universitas Mercu Buana
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB IR. ALIZAR, M.T
FISIKA DASAR
Cos α =
A
Ax , Cos β =
A
Ay , Cos γ =
A
Az
Vektor Dalam Bidang
Dalam bidang sumbu Z tidak ada maka vector A adalah :
A = Ax + Ay = A i x
ˆ + A j y
ˆ
besarnya :
A = 2 2
x y A + A
Komponen vektornya :
Ax = A i x
ˆ besarnya : x A = A cos α
Ay = A j y
ˆ y A = A cos β = A sin α
Arahnya terhadap sumbu x dan y :
Cos α =
A
Ax , dan Cos β =
A
Ay
Gambar 2.2. Vektor A dalam Ruang
Gambar 2.3. Vektor A dalam Bidang

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB IR. ALIZAR, M.T
FISIKA DASAR
2-3 PENJUMLAHAN VEKTOR
Dalam ilmu hitung (aritmetika) dan ilmu aljabar kita berhadapan dengan
bilangan semata – mata. Dalam ilmu analisa vektor, yang merupakan salah satu
cabang ilmu matematika murni, begitu pulalah halnya: sebuah vektor dianggap
semata – mata sebagai sebuah anak panah atau ”sepotong garis lurus yang
berarah” tanpa mempunyai arti fisis sama sekali. Tetapi, sama seperti hukum –
hukum ilmu hitung dan ilmu aljabar dapat menjelaskan operasi – operasi tertentu
yang dapat dilakukan dengan beberapa besaran fisika, hukum – hukum aljabar
vektor dapat pula menjelaskan beberapa (tidak semua) aspek besaran – besaran
fisika lainnya.
(a) Metode Grafik
Untuk menjumlahkan vektor A dengan vektor B , tariklah B sedemikian
rupa sehingga ekornya berada pada kepala A jumlah vector A dan B adalah
vektor R yang menghubungkan ekor A dan kepala B dan besar serta arahnya
dapat di ukur (Gambar 2-4).
Gambar 2.4. Penjumlahan 2 Vektor A dan B
Dengan cara yang sama dilakukan bila lebih dari 2 vektor dijumlahkan.
Vektor Resultan R adalah vektor yang ditarik dari ekor vektor pertama ke kepala
vektor terakhir. (Gambar 2.5).
Gambar 2.5. Penjumlahan Vektor R = A + B + C + D
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan
Universitas Mercu Buana
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB IR. ALIZAR, M.T
FISIKA DASAR
(b) Metode Jajaran Genjang
Vector Resultan R = A + B dapat di hitung dengan :
(1) Membuat titik tangkap vektor A dan B
(2) Membuat jajaran genjang dengan vektor A dan B sebagai sisi – sisinya.
(3) Menarik diagonal dari titik tangkap vektor A dan B .
Vektor R = A + B adalah vektor diagonal jajaran genjang tersebut
(Gambar 2.6).
Gambar 2.6. Vektor R = A + B dengan metoda jajaran genjang.
Bila θ = ( A, B ) = sudut antara vector A dan B maka :
R = │ A + B │ = A2 + B2 - 2 ABcos180 - q
Arah vektor R terhadap vektor B adalah ( R , B ) disini :
sin (180 - q )
R
= (R B)
A
sin ,

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB IR. ALIZAR, M.T
FISIKA DASAR
(c) Metode Komponen
Menjumlahkan dua atau lebih vektor A, B,C,...... sekaligus dengan
metoda komponen dilakukan sebagai berikut.
(1) Uraikan semua vektor ke dalam komponen dalam arah x, y, dan z.
(2) Jumlahkan komponen – komponen dalam arah x, y, dan z bersama – sama
yang memberikan Rx, Ry, Rz.
Artinya, besarnya Rx, Ry, dan Rz diberikan oleh :
Rx = Ax + Bx + Cx + ........
Ry = Ay + By + Cy + ........
Rz = Az + Bz + Cz + .........
(3) Hitung besar dan arah Resultan R dari komponennya Rx , R y ,dan Rz
Besar vektor Resultan R dinyatakan dengan :
R = 2 2 2
x y Z R + R + R
Dan arahnya terhadap sumbu x, y, dan z adalah :
Cos α =
R
Rx , Cos β =
R
Ry , Cos γ =
R
Rz
Contoh :
1. Carilah jumlah dua vektor gaya berikut dengan cara parallelogram : 30 pon
pada 30° dan 20 pon pada 140° (satu pon gaya adalah gaya sedemikian
hingga benda dengan massa 1 kg mempunyai berat 2,21 pon di bumi. Satu
pon adalah sama dengan gaya 4,45 newton; ( 4,45 N )).
Kedua vektor gaya diperlihatkan pada gambar 2-10 (a). Kita bentuk
paralelogram dengan kedua gaya itu sebagai sisinya, lihat gambar 2-10 (b).
Resultannya, R , adalah diagonal paralelogram. Dengan pengukuran
ditemukan R adalah 3 pon pada 72°.
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan
Universitas Mercu Buana
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB IR. ALIZAR, M.T
FISIKA DASAR
Gambar 2-10
2. Empat vektor sebidang bekerja pada sebuah benda dan berpotongan di titik
O. Lihat Gambar 2-11 (a). Carilah resultan gaya secara grafik. [ Pada
Gambar 2-11, satuan gaya N adalah Newton. Benda dengan massa 1 kg
beratnya 9,8 N di bumi : Gaya 1 N adalah sama dengan gaya 0,225 pon ].
Gambar 2-11
Dari titik · keempat vektor ditarik seperti tampak pada Gambar 2-11(b). Ekor
vektor yang satu diimpitkan dengan ujung vektor sebelumnya. Maka anak
panah yang dapat ditarik dari titik · ke titik ujung vektor terakhir adalah vektor
resultan.

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB IR. ALIZAR, M.T
FISIKA DASAR
Dengan mengingat skala gambar didapatkan dari gambar 2-11 (b) bahwa R
= 119 N. Dengan mistar busur sudut didapatkan 37°. Maka R membentuk
sudut θ = 180° - 37° = 143° dengan sumbu x positif. Resultan gaya-gaya itu
adalah 119 N pada sudut 143°.
3. Lima gaya sebidang bekerja pada sesuatu obyek. Lihat Gambar 2 - 13.
Tentukan resultan kelima gaya itu.
Gambar 2-13
a) Tentukan komponen x dan y setiap gaya sebagai berikut :
Gaya Komponen x Komponen y
19 N 19 0
15 N 15 cos 600 = 7.5 15 sin 600 = 13
16 N - 16 cos 45° = - 11.3 16 sin 45° = 11.3
11 N - 11 cos 30° = - 9.5 - 11 sin 30° = - 5.5
22 N 0 -22.0
Perhatikan tanda + dan – pada komponen – komponen diatas.
b) Komponen vektor R adalah Rx = Σ Fx dan Ry = Σ Fy berarti ” jumlah
semua komponen gaya adalah arah x”. Dengan demikian
Rx = 19,0 + 7,5 – 11,3 – 9,5 + 0 = + 5,7 N
Ry = 0 + 13,0 + 11,3 – 5,5 – 22,0 = -3,2 N

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB IR. ALIZAR, M.T
FISIKA DASAR
c) Besarnya gaya resultan :
R = R R N x y 2 + 2 = 6.5